Question

設a＞0，b＞0，則下列不等式中不恒成立 的是（　�。�

• A、(a+b)(

  1

  a

  +

  1

  b

  )≥4
• B、a2+

  1

  a2

  ≥a+

  1

  a

• C、|a-b|+

  1

  a-b

  ≥2
• D、（a+b）²≤2（a²+b²）

Answer 1

分析：通過應用作差比較和基本不等式，可得A、B、D恒成立，通過舉反例可得C不恒成立．

解答：解：由(a+b)(

1

a

+

1

b

)=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

1

=4，可得A恒成立．
由a2+

1

a2

-(a+

1

a

)=（ a-1 ）（ a-

1

a

 ）=

( a - 1 )( a2-1)

a

=

(a-1)2( a +1 )

a

≥0，可得B恒成立．
當  a-b=-

1

2

 時，|a-b|+

1

a-b

=-

3

2

，可得C不恒成立．
由  2（a²+b²）-（a+b）²=（a-b）²≥0，可得 D恒成立．
故選C．

點評：本題考查基本不等式的應用，用作差比較法證明不等式，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．