已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的右準線與一條漸近線交于點M,F(xiàn)是右焦點,若|MF|=1,且雙曲線C的離心率e=
6
2

(1)求雙曲線C的方程;
(2)過點A(0,1)的直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點P、Q,且P在A、Q之間,若
AP
AQ
λ≥
1
3
,求直線l斜率k的取值范圍.
分析:(1)利用雙曲線的右準線與一條漸近線交于點M,可求點M的坐標,由|MF|=1,可得方程,借助于離心率e=
6
2
及幾何量的關系,從而求出雙曲線的方程;
(2)將直線與雙曲線的方程聯(lián)立可得(1-2k2)x2-4kx-4=0,,從而可有
△=16k2+16(1-2k2)>0
x1+x2=
-4k
2k2-1
>0
x1x2=
4
2k2-1
>0
1-2k2≠0
,即
1
2
k2<1
且k<0,再根據(jù)
AP
AQ
λ≥
1
3
,有
(1+λ)2
λ
=
4k2
2k2-1
=2+
2
2k2-1
,從而可求k的取值范圍.
解答:解:(1)由對稱性,不妨設M是右準線x=
a2
c
與一漸近線y=
b
a
x
的交點,
其坐標為M(
a2
c
ab
c
),∵|MF|=1,∴
b4
c2
+
a2b2
c2
=1

e=
c
a
=
6
2
b
a
=
e2-1
=
2
2
,c2=a2+b2=
3
2
a2
,
解得a2=2,b2=1,所以雙曲線C的方程是
x2
2
-y2=1
;(6分)
(2)設直線l的斜率為k,則l的方程為y=kx+1,設點P(x1,y1),Q(x2,y2),
y=kx+1
x2-2y2=2
得:(1-2k2)x2-4kx-4=0,
∵l與雙曲線C的右支交于不同的兩點P、Q,
△=16k2+16(1-2k2)>0
x1+x2=
-4k
2k2-1
>0
x1x2=
4
2k2-1
>0
1-2k2≠0

1
2
k2<1
且k<0①(9分)
又∵
AP
AQ
且P在A、Q之間,λ≥
1
3
,∴x1=λx2
1
3
≤λ<1

(1+λ)x2=
-4k
2k2-1
λ
x
2
2
=
4
2k2-1
(1+λ)2
λ
=
4k2
2k2-1
=2+
2
2k2-1
,
f(λ)=
(1+λ)2
λ
=λ+
1
λ
+2
[
1
3
,1)
上是減函數(shù)(∵f′(λ)<0),
4<f(λ)≤
16
3
,
4<2+
2
2k2-1
16
3
,由于k2
1
2
,∴
4
5
k2<1
②(12分)
由①②可得:-1<k≤-
2
5
5
,(13分)
即直線l斜率取值范圍為(-1,-
2
5
5
]
(14分)
點評:本題考查雙曲線標準方程的求解,關鍵是尋找?guī)缀瘟恐g的關系,考查直線與雙曲線的位置關系,通過聯(lián)立方程組,借助于根與系數(shù)的關系,從而使問題得解.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•許昌三模)已知雙曲線c:
x2
a
-
y2
b
=1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是
2
,
3
2
,
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•寧波模擬)已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1
的離心率的范圍是數(shù)集M,設p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
lg
x-1
x-2
  x<1
2x-k       x≥1
的值域為R”.則P是Q成立的( 。

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科目:高中數(shù)學 來源:寧波模擬 題型:單選題

已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1
的離心率的范圍是數(shù)集M,設p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
lg
x-1
x-2
  x<1
2x-k       x≥1
的值域為R”.則P是Q成立的(  )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線c:
x2
a
-
y2
b
=1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是______.

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