Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，

3

2

），它的左焦點(diǎn)為F（-c，0），直線l₁：y=x-c與橢圓C將于A，B兩點(diǎn)，△ABF的周長(zhǎng)為a³．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是直線l₂：y=x-3c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PM，PN，M，N分別為切點(diǎn)，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．
（注：經(jīng)過(guò)橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)（x₀，y₀）的橢圓的切線方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用△ABF的周長(zhǎng)為a³．求出a，利用橢圓C過(guò)(1，

3

2

)點(diǎn)，求出b，得到橢圓C的方程．
（Ⅱ）利用橢圓方程求出c，l₂：y=x-3，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（t，t-3）求出橢圓C的兩條切線PM，PN的方程，求出MN的方程，利用直線系得到定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）直線l₁：y=x-c經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，
由題意，△ABF的周長(zhǎng)為a³．
可得：4a=a³，a²=4，a=2…（2分）
又∵橢圓C過(guò)(1，

3

2

)點(diǎn)，∴

1

4

+

( 3 2 )2

b2

=1…（3分）
∴b²=3…（5分）
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（Ⅱ）c=1，l₂：y=x-3設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（t，t-3）
則直線lMP：

x1x

4

+

y1y

3

=1…（7分）
直線lPN：

x2x

4

+

y2y

3

=1…（8分）
又P（t，t-3）在上述兩切線上，
∴

x1t

4

+

y1(t-3)

3

=1，

x2t

4

+

y2(t-3)

3

=1
∴直線lMN：

tx

4

+

(t-3)y

3

=1…（10分）
即：（3x+4y）t-12y-12=0
由

3x+4y=0 -12y-12=0

得

x= 4 3 y=-1

，
∴直線MN過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為(

4

3

，-1)…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的主辦方稱的求法，橢圓的切線方程以及直線系方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．