Question

16．已知函數f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x
（1）判斷f（x）是否為定義域上的單調函數，并說明理由
（2）設x∈（0，e]，f（x）-mx≤0恒成立，求m的最小整數值．

Answer 1

分析 （1）f（x）定義域上的單調函數．求出導數，判斷符號，即可得到結論；
（2）由題意可得m≥$\frac{f（x）}{x}$恒成立，在（0，e]恒成立，求得h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{2}$的導數，判斷符號，運用單調性求得最大值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）f（x）為定義域上的單調增函數．
∵f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=$\frac{{x}^{2}-x+2}{2x}$=$\frac{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}}{2x}$＞0，
∴f（x）為定義域上的單調增函數
（2）∵x∈（0，e]，f（x）-mx≤0恒成立，等價于m≥$\frac{f（x）}{x}$恒成立，
即m≥[$\frac{f（x）}{x}$]_max，
令h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{2}$，
∴h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{4}$＞0，則h（x）在（0，e]上單調遞增，
∴h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{e}{4}$-$\frac{1}{2}$∈（0，1），
∴m的最小整數值為1．

點評 本題考查導數的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離，考查運算能力，屬于中檔題．