Question

如圖直角梯形OABC位于平面直角坐標(biāo)系中，其中OC=1，BC=1，OA=2，動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)沿折線段CBA運(yùn)動(dòng)到A（包括端點(diǎn)），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，函數(shù)f（x）=

OP

•

PA

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）出函數(shù)y=f（x）的草圖，并求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若函數(shù)y=f（x）-c有零點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分當(dāng)點(diǎn)P位于線段BC時(shí)，即0≤x≤1，點(diǎn)P（x，1），可得

OP

，

PA

，

OP

•

PA

，即可得出y．
當(dāng)點(diǎn)P位于BA上時(shí)，即1＜x≤2，點(diǎn)P（x，2-x），可得

OP

，

PA

，

OP

•

PA

，即可得出y．進(jìn)而得到f（x）．
（2）根據(jù)圖象的畫法即可；
（3）先求出f（x）的值域即可．

解答：解：（1）由已知C（0，1），A（2，0）．
當(dāng)點(diǎn)P位于線段BC時(shí)，即0≤x≤1，點(diǎn)P（x，1），∴

OP

=(x，1)，

PA

=(2-x，-1)．
y=

OP

•

PA

=x（2-x）-1=-x²+2x-1．
當(dāng)點(diǎn)P位于BA上時(shí)，即1＜x≤2，點(diǎn)P（x，2-x），則

OP

=(x，2-x)，

PA

=(2-x，x-2)，
y=

OP

•

PA

=x（2-x）+（2-x）（x-2）=-2x²+6x-4．
于是函數(shù)f（x）=

-x2+2x-1，(0≤x≤1) -2x2+6x-4，(1＜x≤2)

（2）f（x）的單調(diào)區(qū)間為[0，

3

2

]．
（3）由函數(shù)圖象可得f（0）=-1，f(

3

2

)=

1

2

．∴c的取值范圍是[-1，

1

2

]．

點(diǎn)評：熟練掌握圖象的畫法、數(shù)量積運(yùn)算、分段函數(shù)的意義、函數(shù)的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．