Question

15．非等比數(shù)列{a_n}中，前n項和S_n=-$\frac{1}{4}$（a_n-1）²
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{n（3-{a}_{n}）}$（n∈N），T_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整數(shù)n，使得對任意的n均有T_n＞$\frac{m}{32}$總成立？若存在．求出m；若不存在，請說明礙由．

Answer 1

分析 （1）易求得a₁=-1；當(dāng)n≥2時，寫出S_n=-$\frac{1}{4}$（a_n-1）²，S_n-1=-$\frac{1}{4}$（a_n-1-1）²，從而作差化簡可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+2）=0，從而解得；
（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{n（3-{a}_{n}）}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$＞0，從而可得T_n=b₁+b₂+…+b_n是遞增數(shù)列，從而化恒成立問題為最值問題，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，S₁=-$\frac{1}{4}$（a₁-1）²，
解得，a₁=-1；
當(dāng)n≥2時，
S_n=-$\frac{1}{4}$（a_n-1）²，
S_n-1=-$\frac{1}{4}$（a_n-1-1）²，
故-4a_n=（a_n-1）²-（a_n-1-1）²，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+2）=0，
∵{a_n}不是等比數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=-2，
∴{a_n}是以-1為首項，-2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=-1+（n-1）（-2）=1-2n，
（2）由（1）知，b_n=$\frac{1}{n（3-{a}_{n}）}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$＞0，
故T_n=b₁+b₂+…+b_n是遞增數(shù)列，
故當(dāng)n=1時，T_n有最小值為T₁=$\frac{1}{4}$，
故對任意的n均有T_n＞$\frac{m}{32}$總成立可化為$\frac{1}{4}$＞$\frac{m}{32}$，
故m＜8；
故m的最大值為7．

點評 本題考查了學(xué)生的化簡運算能力及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了恒成立問題．