Question

5．已知函數(shù)f（x）=alnx-x+2，其中a≠0．若對于任意的x₁∈[1，e]，總存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）=4，則實數(shù)a=e+1．

Answer 1

分析 通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調性找到函數(shù)的最值，從而求出a的值．

解答 解：用f（x）_max，f（x）_min分別表示函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，
當a≤1且a≠0時，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是減函數(shù)，
所以 f（x）_max=f（1）=1；
因為 對任意的x₁∈[1，e]，x₂∈[1，e]，f（x₁）+f（x₂）≤2f（1）=2＜4，
所以對任意的x₁∈[1，e]，不存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）=4；
當1＜a＜e時，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函數(shù)，在[a，e]上，f（x）是減函數(shù)，
所以 f（x）_max=f（a）=alna-a+2；
因為 對x₁=1，?x₂∈[1，e]，f（1）+f（x₂）≤f（1）+f（a）=1+alna-a+2=a（lna-1）+3＜3，
所以 對x₁=1∈[1，e]，不存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）=4；
當a≥e時，令g（x）=4-f（x）（x∈[1，e]），
由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函數(shù)，進而知g（x）是減函數(shù)，
所以 f（x）_min=f（1）=1，f（x）_max=f（e）=a-e+2，
g（x）_max=g（1）=4-f（1），g（x）_min=g（e）=4-f（e）；
因為 對任意的x₁∈[1，e]，總存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）=4，即f（x₁）=g（x₂），
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥g（e）}\\{f（e）≤g（1）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{f（1）+f（e）≥4}\\{f（e）+f（1）≤4}\end{array}\right.$，
所以 f（1）+f（e）=a-e+3=4，解得a=e+1，
綜上所述，實數(shù)a的值為e+1．
故答案為：e+1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，分類討論思想，是一道中檔題．