Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1，其右焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過點(diǎn)F與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=

4 2

3

．
（1）求直線l的方程；
（2）求△OAB的面積．

Answer 1

分析：（1）由已知易得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F（1，0），分斜率不存在時(shí)和斜率存在時(shí)，兩種情況討論，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式，要求出直線l的方程；
（2）由點(diǎn)到直線距離公式，求出原點(diǎn)O到直線AB的距離，代入三角形面積公式，可得△OAB的面積．

解答：解：（1）∵橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

2

+y2=1
故c=1
則其右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F（1，0）
當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1
此時(shí)|AB|=

2b2

a

=

2

，不符合條件；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
則x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

∴|AB|=

1+k2

•

( 4k2 1+2k2 )2-4× 2k2-2 1+2k2

=

1+k2

1+2k2

×

8

=

4 2

3

解得k=±1
故直線l的方程為：x+y-1=0或x-y-1=0
（2）原點(diǎn)到直線x+y-1=0或x-y-1=0的距離d=

1

2

=

2

2

故△OAB的面積S=

1

2

×

4 2

3

×

2

2

=

2

3

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓錐的曲線的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，聯(lián)立方程+韋達(dá)定理+設(shè)而不求是解答直線與圓錐曲線位置關(guān)系的三大法寶．