Question

袋子A、B中均裝有若干個(gè)大小相同的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是

1

3

，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p．
（1）從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止．
①求恰好摸5次停止的概率；
②記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（2）若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1：2，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是

2

5

，求p的值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）（i）由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰好摸5次停止表示第次一定摸到紅球，前四次有兩次摸到紅球，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到結(jié)果．
（ii）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止，隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3；由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式得到概率，寫(xiě)出分布列和期望．
（2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是3m，而滿(mǎn)足條件的是

1

3

，根據(jù)古典概型公式得到關(guān)于P的方程，解方程即可．

解答： 解：：（Ⅰ）（i）由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰好摸5次停止表示第五次一定摸到紅球，前四次有兩次摸到紅球，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到
C₄²×（

1

3

）²（

2

3

）²×

1

3

=

8

81

．
（ii）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止
∴隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3；
由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式P_n（k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k，得
P（ξ=0）=C₅⁰×（1-

1

3

）⁵=

32

243

；
P（ξ=1）=C₅¹×

1

3

×（1-

1

3

）⁴=

80

243

；
P（ξ=2）=C₅²×（

1

3

）²×（1-

1

3

）³=

80

243

；
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

3

)3+

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

)2×

1

3

+

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2×

1

3

=

17

81

． 
隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	32 243	80 243	80 243	17 81

∴ξ的數(shù)學(xué)期望是Eξ=

32

243

×0+

80

243

×1+

80

243

×2+

17

81

×3=

131

81

．
（Ⅱ）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
設(shè)袋子A中有m個(gè)球，則袋子B中有2m個(gè)球．
試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是3m，
而滿(mǎn)足條件的是

1

3

m+2mp，
根據(jù)古典概型公式得到

1 3 m+2mp

2m

=

2

5

，
∴p=

13

30

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望和方差的求法；解決離散型隨機(jī)變量分布列問(wèn)題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則根據(jù)其性質(zhì)運(yùn)算要簡(jiǎn)單．