（08年唐山一中調(diào)研二） 如圖所示，正三棱柱的底面邊長為a，點M在BC上，是以點M為直角頂點的等腰直角三角形。

   （Ⅰ）求證：點M為邊BC的中點；

   （Ⅱ）求點C到平面的距離；

   （Ⅲ）求二面角的大小。

 

解析:（Ⅰ）證明  是以點M為直角頂點的等腰直角三角形，

∴且

正三棱柱

∴底面ABC

∴在底面內(nèi)的射影為CM，

底面ABC為邊長為a的正三角形，

∴點M為BC邊的中點。

（Ⅱ）解：過點C作，

由（Ⅰ）知且

∴

CH在平面內(nèi)，

∴，

∴，

由（Ⅰ）知

∴

∴

∴點C到平面的距離為

（Ⅲ）解：過點C作于I，連HI，

∴HI為CI在平面內(nèi)的射影

∴，是二面角的平面角

在直角三角形中，

∴

∴二面角的大小為

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