Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁，且1，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列滿足b_n=（log₂a_n+1）（log₂a_n+2），求證：

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)1，a_n，S_n成等差數(shù)列，建立條件關(guān)系，利用構(gòu)造法進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此能求出a_n．
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵1，a_n，S_n成等差數(shù)列，
∴2a_n=S_n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+1，∴a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=a₁•2^n-1=1•2^n-1=2^n-1．
（Ⅱ）證明：b_n=（log₂a_n+1）（log₂a_n+2）=n（n+1），
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用，考查裂項(xiàng)法求和，要求熟練掌握相應(yīng)的公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．