Question

11．如圖所示，在棱長為2的正方體AC₁中，點(diǎn)P，Q分別在棱BC、CD上，滿足B₁Q⊥D₁P，且PQ=$\sqrt{2}$．
（1）試確定P、Q兩點(diǎn)的位置．
（2）求B₁Q與平面APQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{A{A}_{1}}$為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)CP=a（0≤a≤$\sqrt{2}$），利用 $\overrightarrow{{B}_{1}Q}$•$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=0，得出關(guān)于a的方程并求解即可．
（2）分別求出$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$、面APQ的一個(gè)法向量，利用兩向量夾角可求cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$，$\overrightarrow{k}$＞，即可得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）以$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{A{A}_{1}}$為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)CP=a（0≤a≤$\sqrt{2}$），
則CQ=$\sqrt{2-{a}^{2}}$，P（2，2-a，0），Q（2-$\sqrt{2-{a}^{2}}$，2，0），B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$=（-$\sqrt{2-{a}^{2}}$，2，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（2，-a，-2），
∵B₁Q⊥D₁P，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$•$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=0，∴-$\sqrt{2-{a}^{2}}$-2a+4=0，
解得a=1，…（4分）
∴PC=1，CQ=1，即P、Q分別為BC，CD中點(diǎn)．…（5分）
（2）∵由（1）可得：$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$=（-1，2，-2），$\overrightarrow{k}$=（0，0，-2）為面APQ的一個(gè)法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$，$\overrightarrow{k}$＞=$\frac{2}{3}$，
∴設(shè)B₁Q與平面APQ所成角為θ，則sinθ=cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$，$\overrightarrow{k}$＞=$\frac{2}{3}$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度，屬于中檔題．