Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率。

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

（1）由橢圓的離心率可得，根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)可得，求得， 后可得橢圓的方程．（2）將直線方程代入橢圓方程后整理可得，由得．由根與系數(shù)的關(guān)系求得弦MN的中點(diǎn)，由此可得直線AG的斜率，根據(jù)可得，由此可得，解得，即為所求范圍．

試題解析：

（1）橢圓的離心率，

，即；①

又橢圓過(guò)點(diǎn)，

∴，②

由①②得， ，

∴橢圓的方程為．

（2）由消去整理得

，

直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，

，

整理得……（1）

設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A，

則，

∴

∴，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

∴直線AG的斜率為，

又直線AG和直線MN垂直，

∴，

∴，

將上式代入（1）式，可得，

整理得，

解得．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．