Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+18（a∈R）
（1）判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）求f（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)不等式去判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）利用（1）的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)在[1，2]上的最大值．

解答：解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）．
①若a=1，則f'（x）=6（x-1）²≥0恒成立，所以此時函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
②若a＞1，則由f'（x）＞0得x＞a或x＜1，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．由f'（x）＜0得1＜x＜a，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
③若a＜1，則由f'（x）＞0得x＞1或x＜a，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．由f'（x）＜0得a＜x＜1，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
綜上，若a=1，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
若a＞1，f（x）在（a，+∞）和（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，a）上函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
若a＜1，f（x）在（1，+∞）和（-∞，a）上單調(diào)遞增，在（a，1）上函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
（2）由（1）知，若a=1，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．所以f（x）在[1，2]上的最大值為f（2）=22．
若a＜1，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x）在[1，2]上的最大值為f（2）=22．
若a＞1，因為f（1）=3a+17，由f（1）=3a+17=22得，a=

5

3

．
當(dāng)a=

5

3

時，所以f（x）在[1，2]上的最大值為f（2）=22．
當(dāng)1＜a＜

5

3

時，f（1）＜f（22），所以f（x）在[1，2]上的最大值為f（2）=22．
當(dāng)a≥

5

3

時，f（1）＞f（22），所以f（x）在[1，2]上的最大值為f（1）=3a+17．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，當(dāng)參數(shù)不確定時，需要對參數(shù)進行分類討論．