Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：將函數(shù)f（x）的解析式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，合并后提取-2，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z）列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由f（x）的解析式，將x=A代入表示出f（A），由正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡后，根據(jù)sinA不為0得到cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，進(jìn)而得到A+C的度數(shù)，得出A的取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而確定出f（A）的取值范圍．

解答：解：f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1
=1-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x-1
=-sin2x-

3

cos2x
=-2sin（2x+

π

3

），
（1）∵正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z），
∴2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
解得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）；
（2）f（A）=-2sin（2A+

π

3

），
將（2a-c）cosB=bcosC利用正弦定理化簡得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
又B為三角形的內(nèi)角，∴B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，即0＜A＜

2π

3

，
∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴-1＜sin（2A+

π

3

）＜1，
則f（A）的取值范圍是（-2，2）．

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域與值域，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．