Question

已知函數(shù)f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并取得最大值時對應的x的值；
（2）若f（θ）=

4

3

，求cos（4θ+

π

3

）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）先利用兩角和的正弦公式化成標準形式，然后根據正弦函數(shù)的最值求解函數(shù)的最大值；（2）根據f（θ）=

4

3

，得sin（2θ+

π

6

）的值，然后利用倍角公式求cos（4θ+

π

3

）的值．

解答： 解：（1）f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx
=2sin（2x+

π

6

）
所以f（x）的最大值為2．
當2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

，k∈Z時取最大值．
（2）由已知2sin（2θ+

π

6

）=

4

3

得：sin（2θ+

π

6

）=

2

3

．
∴cos（4θ+

π

3

）=cos2（2θ+

π

6

）
=1-2sin²（2θ+

π

6

）=

1

9

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質及三角函數(shù)的求值問題，研究三角函數(shù)的性質關鍵是化成標準形式；三角函數(shù)求值問題關鍵是選擇適當?shù)墓�式，根據角的關系建立已知表達式和求解的表達式之間的關系．