Question

（2013•樂(lè)山二模）已知數(shù)列{a_n}有a₁=a，a₂=p（常數(shù)p＞0），對(duì)任意的正整數(shù)n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有Sn滿足Sn=

n(an-a1)

2

．
（I）試判斷數(shù)列{a_n}是否是等差數(shù)列，若是，求其通項(xiàng)公式，若不是，說(shuō)明理由；
（II）令Pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，Tn是數(shù)列{Pn}的前n項(xiàng)和，求證：T_n-2n＜3．

Answer 1

分析：（I）令n=1，可得a₁=0，從而Sn=

nan

2

，再寫一式，兩式相減，利用疊乘法，即可得到結(jié)論；
（II）先確定{P_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論．

解答：解：（I）令n=1，則S1=a1=

a1-a1

2

=0，即a₁=0，∴Sn=

nan

2

∴當(dāng)n＞1時(shí)，∴an=Sn-Sn-1=

nan-(n-1)an-1

2

∴

an= n-1 n-2 an-1= n-1 n-2 • n-2 n-3 •…• 4 3 • 3 2 • 2 1 •a2=(n-1)p

∵當(dāng)n=1時(shí)，a₁=（1-1）p=0也滿足上式
∴數(shù)列{a_n}是一個(gè)以0為首項(xiàng)，p為公差的等差數(shù)列
（II）∵Sn=

n(a1+an)

2

=

n(n-1)p

2

∴Pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)
∴T_n-2n

=p1+p2+…+pn-2n

=2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＜3
∴原不等式成立．…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列與不等式的綜合，確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和是關(guān)鍵．