Question

如圖，已知點(diǎn)A（0，-3），動點(diǎn)P滿足|PA|=2|PO|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過原點(diǎn)O作兩條直線分別l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x交曲線C 于點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、G（x₃，y₃）、H（x₄，
y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0）。

（1）求證：；
（2）對于（1）中的E、F、G、H，設(shè)EH交x軸于點(diǎn)Q，GF交x軸于點(diǎn)R。求證：|OQ|=|OR|。（證明過程不考慮EH或GF垂直于x軸的情形）

Answer 1

（1）證明：設(shè)點(diǎn)P（x，y），
依題意，可得，
整理，得，
故動點(diǎn)P的軌跡方程為，
將直線EF的方程，代入圓C方程，
整理得，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，，，……①
將直線GH的方程，代入圓C方程，
同理可得，，，……②
由①、②可得，所以結(jié)論成立。
（2）證明：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
由E、Q、H三點(diǎn)共線，得，解得，
由F、R、G三點(diǎn)共線， 同理可得，
由，

，
即，
。