Question

 [選做題]本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答。若多做，則按作答的前兩題評分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A． 選修4-1：幾何證明選講

 

AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交AB延長線于點C，若DA=DC，求證：AB=2BC。

B． 選修4-2：矩陣與變換

 

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。設(shè)k為非零實數(shù)，矩陣M=,N=，點A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點分別為A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的面積是△ABC面積的2倍，求k的值。

C． 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

 

在極坐標系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數(shù)a的值。

 

D． 選修4-5：不等式選講

 

設(shè)a、b是非負實數(shù)，求證：。

 

[必做題]第22題、第23題，每題10分，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

 

 

Answer 1

【答案】

 

 A[解析] 本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力。

（方法一）證明：連結(jié)OD，則：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，

所以∠DCO=30⁰，∠DOC=60⁰，

所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）證明：連結(jié)OD、BD。

因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB=90⁰，AB=2 OB。

因為DC 是圓O的切線，所以∠CDO=90⁰。

又因為DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

 

B[解析] 本題主要考查圖形在矩陣對應(yīng)的變換下的變化特點，考查運算求解能力。滿分10分。

解：由題設(shè)得

由，可知A₁（0，0）、B₁（0，-2）、C₁（，-2）。

計算得△ABC面積的面積是1，△A₁B₁C₁的面積是，則由題設(shè)知：。

所以k的值為2或-2。

 

C[解析] 本題主要考查曲線的極坐標方程等基本知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力。滿分10分。

解：，圓ρ=2cosθ的普通方程為：，

直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程為：，

又圓與直線相切，所以解得：，或。

D[解析] 本題主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證的能力。滿分10分。

（方法一）證明：

因為實數(shù)a、b≥0，

所以上式≥0。即有。

（方法二）證明：由a、b是非負實數(shù)，作差得

當時，，從而，得；

當時，，從而，得；

所以。