Question

已知函數(shù)f(x)=a(2cos2

x

2

+sinx)+b．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；．
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，若x∈[0，π]，函數(shù)f（x）的值域是[3，4]，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二倍角公式，可得2cos²

x

2

=cosx+1，代入f（x）化簡并將a=1代入可得，f(x)=

2

sin(x+

π

4

)+1+b，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，分析可得答案，
（2）由（1）可得，f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=

2

asin(x+

π

4

)+a+b，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出其在[0，π]上的值域，與[3，4]對應(yīng)，計算可得答案．

解答：解：（1）f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=

2

asin(x+

π

4

)+a+b，
當(dāng)a=1時，f(x)=

2

sin(x+

π

4

)+1+b．
∴當(dāng)2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

   (k∈Z)時，f（x）是增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]   (k∈Z)；
（Ⅱ）由x∈[0，π]得

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，∴-

2

2

≤sin(x+

π

4

)≤1．
因為a＜0，所以當(dāng)sin(x+

π

4

)=1時，f（x）取最小值3，即

2

a+a+b=3    (1)
當(dāng)sin(x+

π

4

)=-

2

2

時，f（x）取最大值4，即b=4
將b=4代入（1）式得a=1-

2

．

點評：本題考查二倍角公式的變形運用，注意從題目分析，尋找突破口，對公式變形化簡．