4.函數(shù)f(x)在定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),?x∈(0,+∞),f[f(x)-lnx]=e+1,則方程f(x)-f′(x)=e的解所在的區(qū)間是(1,2).

分析 由設(shè)t=f(x)-lnx,則f(x)=lnx+t,又由f(t)=e+1,求出f(x)=lnx+e,則方程f(x)-f′(x)=e的解可轉(zhuǎn)化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解,根據(jù)零點存在定理即可判斷.

解答 解:根據(jù)題意,對任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-lnx]=e+1,
又由f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),
則f(x)-lnx為定值,
設(shè)t=f(x)-lnx,
則f(x)=lnx+t,
又由f(t)=e+1,
即lnt+t=e+1,
解得:t=e,
則f(x)=lnx+e,f′(x)=$\frac{1}{x}$,
∴f(x)-f′(x)=lnx+e-$\frac{1}{x}$=e,
即lnx-$\frac{1}{x}$=0,
則方程f(x)-f′(x)=e的解可轉(zhuǎn)化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解,
令h(x)=lnx-$\frac{1}{x}$,
而h(2)=ln2-$\frac{1}{2}$>0,h(1)=ln1-1<0,
∴方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解所在區(qū)間為(1,2),
∴方程f(x)-f′(x)=e的解所在區(qū)間為(1,2),
故答案為(1,2).

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算和零點存在定理,關(guān)鍵是求出f(x),屬于中檔題.

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