Question

棱長均為1三棱錐S-ABC，若空間一點P滿足

SP

=x

SA

+y

SB

+z

SC

(x+y+z=1)，則|

SP

|的最小值為（　�。�

• A、1
• B、

  6

  3

• C、

  3

  6

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：欲求|

SP

|的最小值，將其平方，先利用空間向量的數(shù)量積運算出|

SP

|與|

SP

|的數(shù)量積，再將題中條件：x+y+z=1代入運算，最后利用基本不等式即可求得最小值．

解答：解：∵滿足

SP

=x

SA

+y

SB

+z

SC

(x+y+z=1)，
∴

SP

 2=(x

SA

+y

SB

+z

SC

) 2
=x²+y²+z²+2xy

SA

 •

SB

+2xz

SA

•

SC

+2yz

SC

•

SB

=x²+y²+z²+xy+xz+yz
∵x+y+z=1，
∴（x+y+z）²=1，
x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=1，
又x²+y²+z²≥xy+xz+yz，
∴xy+xz+yz≤

1

3

∴x²+y²+z²+xy+xz+yz
=1-（xy+xz+yz）≥

2

3

則|

SP

|的最小值為

6

3

．
故選B

點評：本題主要考查了空間向量的數(shù)量積運算，以及基本不等式等知識，解答的關鍵是適當變形成可以利用基本不等式的形式．屬于基礎題．