Question

（本小題滿分12分）

        如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA=4

   （1）證明：若F是棱PB的中點，求證：EF//平面PAD；

   （2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）略（2）

【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，E是CD的中點

∴BE⊥AB，

又PA⊥底面ABCD，

∴BE⊥PA

∴BE⊥平面PAB

∴BE平面PBE

∴平面PBE⊥平面PAB

（2）設PA的中點為M，連接EF、FM、MD

則MF//AB、DE//AB，

∴DE//FM、DE=FM

∴四邊形EFMD是平面四邊形，

∴EF//DM

又EF平面PAD，DM平面PAD

∴EF//平面PAD

（3）延長BE交AD的延長線于G，則PG

是平面PAD和平面PBE的交線過點A作

AH⊥OB、AN⊥PG，

∵AH⊥平面PAB，

∴∠ANH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角

在Rt△PAB中，PA=4、AB=2

∴

∵E是DC的中點，且AB//CD，

∴AG=2AD=4

∴在Rt△PAG中，AN=，

∴Rt△ANH中，

∴平面PAD和平面PBE所成二面角的大小為

或如圖，建立空間直角坐標系O—xyz，

B（1，0，0），

則，

設平面PAD的法向量為

則

可得

又

設平面PBE的法向量為

，

=0

可得，取x=1，

平面PAD和平面PBE所成二面角的大小為