已知數(shù)學(xué)公式，若f（x）=ax2-4x+2在區(qū)間[1，4]上最大值為M（a），，最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）討論g（a）在數(shù)學(xué)公式上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)數(shù)學(xué)公式時(shí)，證明2a2+4≥g（a）．

解：（1）f（x）的對稱軸為x=
∵
∴
∴當(dāng)x=時(shí)，f（x）最小為N（a）=
時(shí)，當(dāng)x=4時(shí)最大為M（a）=16a-14
時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)最大為M（a）=a-2
∴
（2）時(shí)
∵＜0
∴
證明（3）∵
∴當(dāng)a=時(shí)g（a）最大，最大值為
∵
即∵2a2+4≥g（a）max
∴2a2+4≥g（a）
分析：（1）求出f（x）的對稱軸，判斷對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，求出f（x）的最小值；討論對稱軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系，求出最大值；利用最大值減去最小值求出g（a）
（2）求出a∈時(shí)g（a）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出其符號，得到g（a）的單調(diào)性．
（3）利用（2）的單調(diào)性求出g（a）的最大值；求出二次函數(shù)2a2+4的最小值，該最小值大于等于g（a）的最大值，
得證．
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的最值的求法，其最值取決于對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系、考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性、考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：函數(shù)f（x）=a•lnx+bx2+x在點(diǎn)（f，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)函數(shù)y=
1
2
f(x)+
x(x-1)
2
的反函數(shù)為p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函數(shù)t（x）的最大值；
（3）在（2）中，問是否存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n∈N+且n＞N時(shí)，不等式p(-1)+p(-
1
2
)+p(-
1
3
) +p(-
1
n
) ＜n-2011恒成立？若存在，請找出一個(gè)滿足條件的N的值，并給以說明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年安徽省鳳陽藝榮高考輔導(dǎo)學(xué)校高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)若f（x）＞3，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞8
B．x＜0或x＞8
C．0＜x＜8
D．x＜0或0＜x＜8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年河北省保定市高三（上）摸底數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知：函數(shù)f（x）=a•lnx+bx2+x在點(diǎn)（f，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函數(shù)t（x）的最大值；
（3）在（2）中，問是否存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n∈N+且n＞N時(shí)，不等式恒成立？若存在，請找出一個(gè)滿足條件的N的值，并給以說明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年重慶一中高三（上）12月月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

已知，若f（x）=ax2-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），記g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析表達(dá)式；
（2）若對一切都有kg（a）-1＜0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年山東省高考數(shù)學(xué)預(yù)測試卷（05）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)若f（x）＞3，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞8
B．x＜0或x＞8
C．0＜x＜8
D．x＜0或0＜x＜8

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