Question

某同學(xué)向如圖所示的圓形靶投擲飛鏢，飛鏢落在靶外（環(huán)數(shù)記為0）的概率為0.1，飛鏢落在靶內(nèi)的各個(gè)點(diǎn)是隨機(jī)的．已知圓形靶中三個(gè)圓為同心圓，半徑分別為30cm、20cm、10cm，飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖中標(biāo)示．
（1）若這位同學(xué)向圓形靶投擲3次飛鏢，求恰有2次落在9環(huán)區(qū)域內(nèi)的概率；
（2）記這位同學(xué)投擲一次得到的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（1）由題意可知，飛鏢落在靶內(nèi)各個(gè)區(qū)域的概率與它們的面積成正比，而與它們的質(zhì)量和形狀無關(guān)．
由圓的半徑值可得到三個(gè)同心圓的半徑之比為3：2：1，面積比為9：4：1，
所以8環(huán)區(qū)域、9環(huán)區(qū)域、10環(huán)區(qū)域的面積比為5：3：1，
則擲得8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別設(shè)為5k，3k，k
根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)有0.1+5k+3k+k=1，解得k=0.1． …（3分）
所以，這位同學(xué)向圓形靶投擲1次飛鏢，落在9環(huán)區(qū)域內(nèi)的概率為0.3，
設(shè)向圓形靶投擲3次飛鏢，恰有2次落在9環(huán)區(qū)域內(nèi)為事件A，則P（A）=．…（6分）
（2）隨機(jī)變量X的取值為0，8，9，10，…（7分）
P（x=0）=0.1，P（x=8）=0.5，P（x=9）=0.3，P（x=10）=0.1，
所以，離散型隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	8	9	10
P	0.1	0.5	0.3	0.1

…（11分）
E（X）=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7． …（12分）
分析：（1）求得8環(huán)區(qū)域、9環(huán)區(qū)域、10環(huán)區(qū)域的面積比為5：3：1，可得擲得8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率比，根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，可求這位同學(xué)向圓形靶投擲1次飛鏢，落在9環(huán)區(qū)域內(nèi)的概率，從而可求這位同學(xué)向圓形靶投擲3次飛鏢，求恰有2次落在9環(huán)區(qū)域內(nèi)的概率；
（2）確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，從而可得分布列與期望．
點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型，考查離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．