Question

下面有四個(gè)命題：
（1）x=2kπ+

π

3

(k∈Z)是tanx=

3

的充分非必要條件；
（2）函數(shù)f （x）=|2cos²x-1|的最小正周期是π；
（3）函數(shù)f （x）=sin（x+

π

4

）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)；
（4）函數(shù)f （x）=asinx-bcosx的圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=

π

4

，則a+b=0．
其中正確命題的序號(hào)是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷①；周期函數(shù)的定義判斷②的正誤；函數(shù)的單調(diào)性判斷③；根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸判斷④，即可推出結(jié)果．

解答：解：（1）由于當(dāng)x=2kπ+

π

3

(k∈Z)時(shí)，tanx=

3

，而tanx=

3

時(shí)，x=kπ+

π

3

(k∈Z)，所以x=2kπ+

π

3

(k∈Z)是tanx=

3

的充分非必要條件，故（1）正確；
（2）因?yàn)閒（x）=|2cos²x-1|=|cos2x|，所以函數(shù)的最小正周期為

π

2

，所以（2）錯(cuò)誤；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f （x）=sin（x+

π

4

）的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，所以（3）錯(cuò)誤；
（4）由題意可得：f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x） 對(duì)任意x∈R恒成立，即可得2acos

π

4

sinx=-2bsin

π

4

sinx 對(duì)任意x∈R恒成立，
即（a+b）sinx=0 對(duì)任意x∈R恒成立，所以a+b=0，所以（4）正確．
故答案為（1）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，周期性，奇偶性以及對(duì)稱性，此題屬于中檔題型，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．