Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x，y）為動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)A（，0），B（-，0），直線PA與PB的斜率之積為定值-．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），過點(diǎn)F的直線l交軌跡E于M、N兩點(diǎn)，以MN為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰在y軸上，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）用坐標(biāo)表示直線PA與PB的斜率因?yàn)橹本�PA與PB的斜率之積為定值-，可得即軌跡方程為．
（Ⅱ）討論斜率為0與斜率不存在時(shí)不合題意，設(shè)直線方程為y=k（x-1），利用根與系數(shù)的關(guān)系表示MN的中點(diǎn)，則線段MN的中垂線m的方程為
則直線m與y軸的交點(diǎn)又可解得k=±1，即直線l的方程為y=±（x-1）．
解答：解：（Ⅰ）由題意，
整理得，所以所求軌跡E的方程為，
（Ⅱ）當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，與軌跡E無(wú)交點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l：x=1，此時(shí)，以MN為對(duì)角線的正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，不合題意；
當(dāng)直線l與x軸既不重合，也不垂直時(shí)，不妨設(shè)直線l：y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)，
由消y得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
由得
所以，
則線段MN的中垂線m的方程為：，
整理得直線，
則直線m與y軸的交點(diǎn)，
注意到以MN為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰在y軸上，
當(dāng)且僅當(dāng)RM⊥RN，
即，
，①
由②
將②代入①解得k=±1，即直線l的方程為y=±（x-1），
綜上，所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．
點(diǎn)評(píng)：有關(guān)三角形的問題是高考的一個(gè)重點(diǎn)，多與三角形的周長(zhǎng)，面積，形狀等問題相關(guān)，解決此類問題關(guān)鍵是抓住曲線與三角形的特性靈活找出問題的所在．