已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿對角線BD將△BDC折起得到三棱錐C-ABD，且三棱錐的體積為
2
5
15
，則異面直線BC與AD所成角的余弦值為（　�。�
A、
1
5
B、
2
5
C、
4
5
D、
17
20
分析：求出棱錐的高等于直角三角形BCD的斜邊BD上的高，可得平面BCD⊥平面ABD，作CE⊥BD，AF⊥BD，利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出
AD
•
BC
的值，再根據(jù)又
AD
•
BC
=（
AF
+
FD
 ）•（
BE
+
EC
） 求出
AD
•
BC
的值，從而得到 cos＜
AD
， 
BC
＞，即得BC與AD所成角的余弦值．
解答：解：設(shè)三棱錐C-ABD的高為h，則
1
3
（
1
2
×2×1）h=
2
5
15
，∴h=
2
5
，
故 h是直角三角形BCD的斜邊BD上的高，故平面BCD⊥平面ABD．作CE⊥BD，AF⊥BD，則
CE⊥面ABD，AF⊥面 BCD．
AD
•
BC
=1×1cos＜
AD
， 
BC
＞=cos＜
AD
， 
BC
＞．
又
AD
•
BC
=（
AF
+
FD
 ）•（
BE
+
EC
）=
AF
•
BE
+
AF
•
EC
+
FD
•
BE
+
FD
•
EC
 
=0+0+
FD
2+0=BC2-CE2=1-(
2
5
)2=
1
5
，
∴cos＜
AD
， 
BC
＞=
1
5
，故異面直線BC與AD所成角的余弦值為
1
5
，
故答案為：
1
5
．
點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)的思想，求出cos＜
AD
， 
BC
＞是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿對角形BD將△BDC折起得到三棱錐C-ABD，且三棱錐的體積為
2
5
15
，則異面直線BC與AD所成角的余弦值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿對角線BD將△BDC折起得到三棱錐E-ABD，且三棱錐的體積為
5
15
，則二面角E-BD-A的正弦值為
1
2
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，BC=1，AE=BE=
3
，若M，N分別是線段DE，CE上的動點，則AM+MN+NB的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知AB=2，BC=1，∠ABC=60°，則△ABC的面積為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知AB=2，BC=1，CA=
3
，分別在邊AB、BC、CA上取點D、E、F，使△DEF是等邊三角形（如圖）．設(shè)∠FEC=α，問sinα為何值時，△DEF的邊長最��？并求出最小值．

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