Question

已知f（x）=3-4^x+2xln2，數(shù)列{a_n}滿足：
（1）求f（x）在[，0]上的最大值和最小值；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．

Answer 1

（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=（1-4^x）ln4
∵x∈[，0]，∴0＜1-4^x＜，∴f′（x）＞0
∴f（x）在[，0]上單調(diào)遞增
∴f_max（x）=f（0）=2；f_min（x）=f（-）=-ln2；
（2）證明：①n=1時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即，
則n=k+1時(shí)，由（1）得=f（a_k）∈（-ln2，2）
∴
∴
∴，即n=k+1時(shí)命題成立
由①②可知，．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，關(guān)鍵證明n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，需要利用歸納假設(shè)．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．