Question

一緝私艇（在A處）發(fā)現(xiàn)，在其北偏東45°方向相距24海里的海面上（C處）有一艘走私船遇正以12海里/小時的速度沿南偏東75°方向逃竄，若緝私船的速度為12

3

海里/小時．若要在最短的時間內(nèi)追上該走私船，緝私船應(yīng)沿北偏東45°+α的方向去追，求追及所需的時間和α角的大小．

Answer 1

分析：緝私艇與走私船原來的位置分別為A、C，在B處兩船相遇，由條件得到∠ACB=120°，AC=24海里，設(shè)緝私船t小時后追上該走私船，根據(jù)各自的速度表示出BC與AB，由∠ACB=120°，∠CAB=α，利用正弦定理列出關(guān)系式，求出sinα的值；由余弦定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答：解：由條件知∠ACB=120°，AC=24海里，
設(shè)緝私船t小時后追上該走私船，可得BC=12t，AB=12

3

t，
∴由正弦定理

BC

sin∠CAB

=

AB

sin∠ACB

得：

12t

sinα

=

12 3 t

sin120°

，
∴sinα=

1

2

，α=30°
由余弦定理AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB得：（12

3

t）²=24²+（12t）²-2×24×12tcos120°，
解得：t=2，
∴t=2小時，α=30°．
追及所需的時間為2小時，α角的大小為30°．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．