Question

6．已知函數(shù)$f（x）=sin\frac{ωx}{2}cos（\frac{ωx}{2}+\frac{π}{4}）-cos\frac{ωx}{2}sin（\frac{ωx}{2}-\frac{π}{4}）$（x∈R）的最小正周期為π．
（1）確定ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角恒等變換化簡f（x），得到f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$），結(jié)合函數(shù)的周期性求出ω的值即可；
（2）求出函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）$f（x）=sin\frac{ωx}{2}cos（\frac{ωx}{2}+\frac{π}{4}）-cos\frac{ωx}{2}sin（\frac{ωx}{2}-\frac{π}{4}）$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-sin²$\frac{ωx}{2}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos$\frac{ωx}{2}$sin$\frac{ωx}{2}$-cos²$\frac{ωx}{2}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos²$\frac{ωx}{2}$-sin²$\frac{ωx}{2}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosωx，
∵最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
（2）f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x，
x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$，2x∈[-$\frac{π}{2}$，π]，
f（x）在[-$\frac{π}{4}$，0]上是增函數(shù)，在[0，$\frac{π}{2}$]是減函數(shù)，
f（-$\frac{π}{4}$）=0，f（0）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的化簡問題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．