Question

如圖所示四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，AE⊥平面CDB，且AR=3，
AB=6．
（1）求證：AB⊥平面ADE；
（2）求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得AB⊥CD，CD⊥AD，由此能證明AB⊥平面ADB．
（2）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，由此能求出四棱錐E-ABCD的體積．

解答： （1）證明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDB，
∴AB⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AB=A，∴CD⊥平面ADB，
∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADB．
（2）解：在Rt△ADB中，AB=3，AD=6，
∴DE=

AD2-AB2

=3

3

，
過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，
∵DE=

AD2-AB2

=3

3

，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，
∵AB⊥平面ADB，EF?平面ADE，∴EF⊥AB，
∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD，
∵AD•EF=AE•DE，
∴EF=

AE•DE

AD

=

3×3 3

6

=

3 3

2

，
又正方形ABCD的面積S_ABCD=36，
∴四棱錐E-ABCD的體積V=

1

3

SABCD×EF=

1

3

×36×

3 3

2

=18

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．