Question

已知a為常數(shù)，a＞0且a≠1，指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x和對數(shù)函數(shù)g（x）=log_ax的圖象分別為C₁與C₂，點M在曲線C₁上，線段OM（O為坐標原點）與曲線C₁的另一個交點為N，若曲線C₂上存在一點P，且點P的橫坐標與點M的縱坐標相等，點P的縱坐標是點N的橫坐標2倍，則點P的坐標為

 

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Answer 1

分析：先設(shè)點M的坐標為（m，a^m），點N的坐標為（n，aⁿ），根據(jù)條件求出點P的坐標，根據(jù)O、M、N三點共線建立等式，解之求出m，從而求出點P的坐標．

解答：解：設(shè)點M的坐標為（m，a^m），點N的坐標為（n，aⁿ）
∵點P的橫坐標與點M的縱坐標相等
∴點P的坐標為（a^m，m）
∵點P的縱坐標是點N的橫坐標2倍，
∴m=2n
而O、M、N三點共線則

am

m

=

an

n

= 

a m 2

m 2

解得：a^m=4即m=log_a4
∴點P的坐標為（4，log_a4）
故答案為：（4，log_a4）

點評：本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，同時考查了理解題意的能力，轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．