Question

已知點(diǎn)P是曲線y=

3-ex

ex+1

上一動(dòng)點(diǎn)，α為曲線在P處的切線的傾斜角，α的最小值為

 

，α的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)y=f（x）=

3-ex

ex+1

的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

-4ex

(ex+1)2

=

-4ex

(ex)2+2ex+1

=-

4

ex+ 1 ex +2

，
∵ex+

1

ex

+2≥2

ex• 1 ex

+2=2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
∴0＜

1

ex+ 1 ex +2

≤

1

4

，
即0＜

4

ex+ 1 ex +2

≤1，
-1≤-

4

ex+ 1 ex +2

＜0
則-1≤f′（x）＜0，
即-1≤tanα＜0，
∴

3π

4

≤α＜π，
即α的最小值為

3π

4

，α的取值范圍是

3π

4

≤α＜π，
故答案為：

3π

4

，

3π

4

≤α＜π

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)和傾斜角之間的關(guān)系，利用基本不等式求出最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，質(zhì)量較高．