已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=2-(+1)an(n≥1).
(1)求證:數(shù)列{}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和為Tn,An=.試比較An的大。
【答案】分析:(1)由a1=S1=2-3a1得a1=,由Sn=2-(+1)an得Sn-1=2-(+1)an-1,由此能證明數(shù)列{}是等比數(shù)列.
(2)由=×=,知2nan=n,Tn=1+2+3+…+n=,,An=2[(1-)+(-)+…+=2(1-)=.又=,問題轉(zhuǎn)化為比較的大。
解答:解:(1)由a1=S1=2-3a1得a1=,
由Sn=2-(+1)an得Sn-1=2-(+1)an-1,
于是an=Sn-Sn-1=(+1)an-1-(+1)an,
整理得=×(n≥2),
所以數(shù)列{}是首項(xiàng)及公比均為的等比數(shù)列.
(2)由(Ⅰ)得=×=
于是2nan=n,Tn=1+2+3+…+n=,
,
An=2[(1-)+(-)+…+=2(1-)=

=,問題轉(zhuǎn)化為比較的大小,即的大。
設(shè)f(n)=,g(n)=
∵f(n+1)-f(n)=,當(dāng)n≥3時(shí),f(n+1)-f(n)>0,
∴當(dāng)n≥3時(shí)f(n)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)n≥4時(shí),f(n)≥f(4)=1,而g(n)<1,∴當(dāng)n≥4時(shí)f(n)>g(n),
經(jīng)檢驗(yàn)n=1,2,3時(shí),仍有f(n)≥g(n),
因此,對任意正整數(shù)n,都有f(n)>g(n),
即An
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的等比數(shù)列的證明方法和數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

19、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2(n∈N*),數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且滿足b1=a1,2b3=b4
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn(a、b∈R),且S25=100,則a12+a14等于( 。
A、16B、8C、4D、不確定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+n+1,那么它的通項(xiàng)公式為an=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

13、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=3n+a,若{an}為等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的值為
-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=kSn+2,又a1=2,a2=1.
(1)求k的值及通項(xiàng)公式an
(2)求Sn

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案