Question

14．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是一個平面內(nèi)的三個向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）
（1）|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{c}∥\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$
（2）若|$\overrightarrow$|=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$與3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{c}$可知$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$方向相同或相反，根據(jù)數(shù)量積定義計算即可；
（2）令（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，代入夾角公式計算．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{5}$，
∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{c}$，∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$方向相同或相反，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\sqrt{5}×2\sqrt{5}$=10，或$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\sqrt{5}×2\sqrt{5}×cos180°$=-10．
（2）∵$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$⊥3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，∴（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=3${\overrightarrow{a}}^{2}$+5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=0，
即15+5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$\frac{45}{2}$=0，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．