Question

14．拋物線的焦點(diǎn)F是圓x²+y²-4x=0的圓心．
（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l的斜率為2，且過拋物線的焦點(diǎn)，若l與拋物線、圓依次交于A，B，C，D，求|AB|+|CD|．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心坐標(biāo)，然后求解拋物線方程．
（2）求出直線方程，然后求解|AB|加上圓的直徑|CD|即可求出|AB|+|CD|．

解答 解：（1）圓x²+y²-4x=0的圓心（2，0），半徑為：2．
拋物線的焦點(diǎn)F是圓x²+y²-4x=0的圓心（2，0），可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：y²=8x．
（2）直線l的斜率為2，且過拋物線的焦點(diǎn)，可得直線方程：y=2（x-2）=2x-4．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，
可得：x²-6x+4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
|AB|=$\sqrt{1+{2}^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\sqrt{5}•\sqrt{{6}^{2}-4×4}$=10．
|CD|=4．
|AB|+|CD|=14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，拋物線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．