Question

14．已知點(diǎn)$M（0，\sqrt{3}）$是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程； 
（Ⅱ）已知點(diǎn)P（x₀，y₀）是定點(diǎn)，直線(xiàn)$l：y=\frac{1}{2}x+m（m∈R）$交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A、B，記直線(xiàn)PA、PB的斜率分別為k₁、k₂，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得k₁+k₂=0恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由給出的橢圓的離心率、橢圓過(guò)定點(diǎn)M及隱含條件a²=b²+c²列方程組可求a²，b²，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線(xiàn)和橢圓聯(lián)立后可求A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，把直線(xiàn)PA、PB的斜率k₁、k₂分別用A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示，把縱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)后，則k₁+k₂僅含A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，化簡(jiǎn)整理即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，b=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
∴c=1，a=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$； 
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線(xiàn)$l：y=\frac{1}{2}x+m（m∈R）$代入橢圓C，
整理得：x²+mx+m²-3=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=0．
∴y₁x₂+y₂x₁+2x₀y₀-y₀（x₁+x₂）-x₀（y₁+y₂）=0，
代入整理可得m（y₀-$\frac{3}{2}$x₀）+2x₀y₀-3=0
∴y₀-$\frac{3}{2}$x₀=0且2x₀y₀-3=0
∴x₀=1，y₀=$\frac{3}{2}$或x₀=-1，y₀=-$\frac{3}{2}$，
∴P（1，$\frac{3}{2}$）或P（-1，-$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是，常常采用設(shè)而不求的方法，即設(shè)出直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)，解答時(shí)不求坐標(biāo)，而是運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系求出兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，然后結(jié)合已知條件整體代入求解問(wèn)題，此題是中檔題．