定義在(-1，1)上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x，y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f().

(1)求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；

(2)若當x∈(-1，0)時，有f(x)＞0，求證：f(x)在(-1，1)上是減函數(shù).

思路分析：(1)定義法證明，利用賦值法獲得f(0)的值進而取x=-y是解題關(guān)鍵；(2)定義法證明，其中判定的范圍是關(guān)鍵.

證明：(1)函數(shù)f(x)的定義域是(-1，1)，

由f(x)+f(y)=f()，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f()，∴f(0)=0.

令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.

∴f(-x)=-f(x).

∴f(x)為奇函數(shù).

(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.令0＜x1＜x2＜1,則

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f()=f().

∵0＜x1＜x2＜1,∴x2-x1＞0,1-x1x2＞0.

∴＞0.

又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)＜0，

∴0＜x2-x1＜1-x1x2.

∴-1＜＜0.由題意知f()＞0，

∴f(x1)＞f(x2).

∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù).

又f(x)為奇函數(shù)，

∴f(x)在(-1，1)上也是減函數(shù).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零．
（1）證明f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)；
（2）如果f（x-c），f（x-c2）的定義域的交集為空集，求實數(shù)c的取值范圍；
（3）證明：若-1≤c≤2，則f（x-c），f（x-c2）存在公共的定義域，并求出這個公共的定義域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），當-1≤x＜0時，f(x)=-
2x
4x+1
．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并給予證明；
（Ⅲ）當x∈（0，1]時，關(guān)于x的方程
2x
f(x)
-2x+λ=0有解，試求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零．
（1）證明f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)；
（2）如果f（x-c），f（x-c2）的定義域的交集為空集，求實數(shù)c的取值范圍；
（3）證明：若-1≤c≤2，則f（x-c），f（x-c2）存在公共的定義域，并求出這個公共的定義域．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零．
（1）證明f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)；
（2）如果f（x-c），f（x-c2）的定義域的交集為空集，求實數(shù)c的取值范圍；
（3）證明：若-1≤c≤2，則f（x-c），f（x-c2）存在公共的定義域，并求出這個公共的定義域．

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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇省泰州市中學高三數(shù)學一輪復習過關(guān)測試卷：函數(shù)（1）（解析版） 題型：解答題

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零．
（1）證明f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)；
（2）如果f（x-c），f（x-c2）的定義域的交集為空集，求實數(shù)c的取值范圍；
（3）證明：若-1≤c≤2，則f（x-c），f（x-c2）存在公共的定義域，并求出這個公共的定義域．

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