Question

5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足$\sqrt{3}$cos2A+1=4sin（$\frac{π}{6}$+A）•sin（$\frac{π}{3}$-A）
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{2}$，且b≥a，求$\sqrt{2}$b-c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得sin2A=1，結(jié)合范圍2A∈（0，2π），可求A的值．
（Ⅱ）利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得$\sqrt{2}$b-c=2sin（B-$\frac{π}{4}$），結(jié)合范圍0≤B-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}$cos2A+1=4sin（$\frac{π}{6}$+A）•sin（$\frac{π}{3}$-A）=2sin（$\frac{2π}{3}$-2A），
∴$\sqrt{3}$cos2A+1=2sin（$\frac{2π}{3}$-2A）=$\sqrt{3}$cos2A+sin2A，可得：sin2A=1，
∵A∈（0，π），2A∈（0，2π），
∴2A=$\frac{π}{2}$，可得：A=$\frac{π}{4}$．…6分
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{4}$，a=$\sqrt{2}$，
∴由$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2，得b=2sinB，c=2sinC，
∴$\sqrt{2}$b-c=2$\sqrt{2}$sinB-2sinC=2$\sqrt{2}$sinB-2sin（$\frac{3π}{4}$-B）=2sin（B-$\frac{π}{4}$）．
∵b≥a，
∴$\frac{π}{4}$≤B＜$\frac{3π}{4}$，即0≤B-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
∴$\sqrt{2}$b-c=2sin（B-$\frac{π}{4}$）∈[0，2）．…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．