Question

已知函數(shù)f（x）=（x>0）。
（1）試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明你的結(jié)論；
（2）若x₁≥1，x₂≥1，證明：|f（x₁）-f（x₂）|＜1。

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間 [1，+∞）上是減函數(shù)
設(shè)0＜x₁＜x₂
則

∵
同理
又
∴
①當時，
即
∴
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)；
②當時，
即
∴
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)
綜上所述函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)。
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)
∵
∴
f（x₂）≤f（1）=1，
又f（x）=
∴
即得0＜f（x₁）≤1，0＜f（x₂）≤1，
∴0＜f（x₁）≤1，-1≤-f（x₂）＜0，
∴-1＜f（x₁）-f（x₂）＜1，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜1。