Question

已知圓C：x²+y²=4，直線l過點P（1，2），且與圓C交于A，B兩點，若|AB|=2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：分兩種情況考慮：當直線l的斜率不存在時，根據(jù)直線l過P點，由P的坐標得出直線l的方程為x=1，經(jīng)驗證滿足題意；當直線l的斜率存在時，設(shè)出斜率為k，由P及k表示出直線l的方程，根據(jù)圓的方程找出半徑r=2及圓心坐標，再利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，進而由弦長的一半，圓的半徑r及弦心距d，利用勾股定理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，可得出此時直線l的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線l的方程．

解答：解：分兩種情況考慮：
（i）當直線l的斜率不存在時（或直線l與x軸垂直），
由P（1，2），得到直線l為x=1，
該直線與圓x²+y²=4相交于兩點A（1，

3

），B（1，-

3

），
滿足|AB|=2

3

，符合題意；（4分）
（ii）當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的斜率為k，
由P（1，2），得到直線l方程為y-2=k（x-1），即kx-y+（2-k）=0，
由圓的方程x²+y²=4，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=2，
∴圓心到直線l的距離d=

|2-k|

k2+1

，又|AB|=2

3

，
∴d²+（

|AB|

2

）²=r²，即（

|2-k|

k2+1

）²+（

3

）²=4，
整理得：-4k=-3，解得：k=

3

4

，
此時直線l的方程為

3

4

x-y+（2-

3

4

）=0，即3x-4y+5=0，（11分）
綜上，直線l的方程為x=1或3x-4y+5=0．（12分）

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：直線的點斜式方程，圓的標準方程，勾股定理，垂徑定理，以及點到直線的距離公式，利用了分類討論的思想，當直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．