Question

6．已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=2，c=3，△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，又$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CD}$，∠CBD=θ．
（1）求a，A，cosB；
（2）求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形面積公式可求sinA的值，結合A為銳角，可求A=$\frac{π}{3}$，再由余弦定理解得a，利用余弦定理即可求得cosB的值．
（2）由已知可求CD=1，BD=3，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinB，利用兩角差的余弦函數(shù)公式可求cosθ=cos（$\frac{π}{3}$-B），利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可解得cos2θ的值．

解答 解：（1）由△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，
可得：$\frac{1}{2}×2×3×sinA$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，可得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又A為銳角，
可得：A=$\frac{π}{3}$，
再由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA=2²+3²-2×$2×3×cos\frac{π}{3}$=7，解得a=$\sqrt{7}$，
可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{（\sqrt{7}）^{2}+{3}^{2}-{2}^{2}}{2×\sqrt{7}×3}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
（2）由$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CD}$，知CD=1，由△ABD為正三角形，即BD=3，
且sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
cosθ=cos（$\frac{π}{3}$-B）=cos$\frac{π}{3}$cosB+sin$\frac{π}{3}$sinB=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
cos2θ=2cos²θ-1=$\frac{11}{14}$．

點評 本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，兩角差的余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題．