Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)（），直線:，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是線段與軸的交點(diǎn), 過、分別作直線、，使， .

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）在直線上任取一點(diǎn)做曲線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為、，求證：直線恒過一定點(diǎn)；

(3)對(duì)（2）求證：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

(1)．（2）利用導(dǎo)數(shù)法求出直線AB的方程，然后再利用直線橫過定點(diǎn)知識(shí)解決.（3）用坐標(biāo)表示出斜率，然后再利用等差中項(xiàng)的知識(shí)證明即可

【解析】

試題分析：(1)依題意知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且⊥，

∴是線段的垂直平分線．∴．

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：．

（2）設(shè)，兩切點(diǎn)為， 

由得，求導(dǎo)得．

∴兩條切線方程為 ① 

②                 

對(duì)于方程①，代入點(diǎn)得，，又

∴整理得：

同理對(duì)方程②有

即為方程的兩根.

∴  ③                            

設(shè)直線的斜率為，

所以直線的方程為，展開得：

，代入③得：

∴直線恒過定點(diǎn).                            

(3) 證明：由（2）的結(jié)論，設(shè)， ， 

且有，  

∴                  

∴

=  

又∵，所以

即直線的斜率倒數(shù)成等差數(shù)列.  

考點(diǎn)：本題考查了拋物線與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的綜合考查

點(diǎn)評(píng)：解答拋物線綜合題時(shí)，應(yīng)根據(jù)其幾何特征熟練的轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（如方程、函數(shù)），再結(jié)合代數(shù)方法解答，這就要學(xué)生在解決問題時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求、弦長公式及韋達(dá)定理綜合思考，重視對(duì)稱思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用