Question

13．不等式ax²-x+a＞0，對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 法一令f（x）=ax²-x+a，當(dāng)a=0時(shí)，不等式為x＜0不合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，解得$a≥\frac{1}{2}$，由此能求出a的取值范圍．
法二：ax²-x+a＞0⇒$a＞\frac{x}{{{x^2}+1}}=\frac{1}{{x+\frac{1}{x}}}$，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：法一：∵不等式ax²-x+a＞0，對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴令f（x）=ax²-x+a，
當(dāng)a=0時(shí)，不等式為x＜0不合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，需$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ f（1）≥0\\ \frac{1}{2a}≤1\end{array}\right.$，
解得$a≥\frac{1}{2}$；綜上$a≥\frac{1}{2}$
解法二：不等式ax²-x+a＞0，對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵ax²-x+a＞0，∴ax²+a＞x，
∴$a＞\frac{x}{{{x^2}+1}}=\frac{1}{{x+\frac{1}{x}}}$≥$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$a≥\frac{1}{2}$．
故答案為：$[\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用．