試題分析:(1)解法1:在如圖1所示的△
中,設(shè)
,則
.
由
,
知,△
為等腰直角三角形,所以
.
由折起前
知,折起后(如圖2),
,
,且
,
所以
平面
.又
,所以
.于是
,
當(dāng)且僅當(dāng)
,即
時(shí),等號成立
故當(dāng)
,即
時(shí), 三棱錐
的體積最大.
解法2:同解法1,得
.
令
,由
,且
,解得
.
當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
所以當(dāng)
時(shí),
取得最大值.
故當(dāng)
時(shí), 三棱錐
的體積最大.
(2)解法1:以
D為原點(diǎn),建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系
D-.
由(Ⅰ)知,當(dāng)三棱錐
A-BCD的體積最大時(shí),
BD=1,
AD=
CD=2.
于是可得
D(0,0,0,),
B(1,0,0),
C(0,2,0),
A(0,0,2)
M(0,1,1)
E(
,1,0),且
BM=(-1,1,1).
設(shè)
N(0,
, 0),則
EN=
,
-1,0).因?yàn)?i>EN⊥BM等價(jià)于
EN·BM=0,即(
,
-1,0)·(-1,1,1)=
+
-1=0,故
=
,
N(0,
,0)
所以當(dāng)
DN=
時(shí)(即
N是
CD的靠近點(diǎn)
D的一個(gè)四等分點(diǎn))時(shí),
EN⊥
BM.
設(shè)平面
BMN的一個(gè)法向量為n=(
,
,
),由
可取
=(1,2,-1)
設(shè)
與平面
所成角的大小為
,則由
,
,可得
,即
.
故
與平面
所成角的大小為
解法2:由(Ⅰ)知,當(dāng)三棱錐
的體積最大時(shí),
,
.
如圖
b,取
的中點(diǎn)
,連結(jié)
,
,
,則
∥
.
由(Ⅰ)知
平面
,所以
平面
.
如圖
c,延長
至
P點(diǎn)使得
,連
,
,則四邊形
為正方形,
所以
. 取
的中點(diǎn)
,連結(jié)
,又
為
的中點(diǎn),則
∥
,
所以
. 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824005837848481.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,又
面
,所以
.
又
,所以
面
. 又
面
,所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824005838222663.png" style="vertical-align:middle;" />當(dāng)且僅當(dāng)
,而點(diǎn)
F是唯一的,所以點(diǎn)
是唯一的.
即當(dāng)
(即
是
的靠近點(diǎn)
的一個(gè)四等分點(diǎn)),
.
連接
,
,由計(jì)算得
,
所以△
與△
是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形,
如圖
d所示,取
的中點(diǎn)
,連接
,
,
則
平面
.在平面
中,過點(diǎn)
作
于
,
則
平面
.故
是
與平面
所成的角.
在△
中,易得
,所以△
是正三角形,
故
,即
與平面
所成角的大小為
點(diǎn)評:本題主要考查了線面垂直的判定,折疊問題中的不變量,空間線面角的計(jì)算方法,空間向量、空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)用,有一定的運(yùn)算量,屬中檔題