Question

設(shè)復(fù)數(shù)z₁，z₂滿足z₁z₂+2i z₁-2i z₂+1=0．
（Ⅰ）若z₁，z₂滿足-z₁=2i，求z₁，z₂；
（Ⅱ）若|z₁|=，是否存在常數(shù)k，使得等式|z₂-4 i|=k恒成立，若存在，試求出k；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用條件-z₁=2i化簡(jiǎn)z₁z₂+2i z₁-2i z₂+1=0．保留z₁，再求解．
（2）將z₁z₂+2i z₁-2i z₂+1=0．求出化簡(jiǎn)z₁，用|z₁|=，解z₂然后求出k即可．
解答：解：（Ⅰ）由=z₁+2i，兩邊同時(shí)取共軛復(fù)數(shù)可得：z₂=-2i．
代入已知方程得：z₁（-2i）+2iz₁-2i（-2i）+1=0．
即|z₁|²-2i-3=0．令z₁=a+bi，
即可得到a²+b²-2i（a-bi）-3=0．
即（a²+b²-2b-3）-2ai=0．
解得a=0，b=3，或a=0，b=-1．
∴z₁=3i，z₂=-5i，或z₁=-i，z₂=-i．
（Ⅱ）由已知得z₁=．又∵|z₁|=，
∴||=．
∴|2iz₂-1|²=3|z₂+2i|²．
∴（2iz₂-1）（-2i-1）=3（z₂+2i）（-2i）．
整理得：z₂+4iz₂-4i-11=0．
即（z₂-4i）（+4i）=27．
∴|z₂-4i|²=27，
即|z₂-4i|=3．
∴存在常數(shù)k=3，使得等式|z₂-4i|=k恒成立．
點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)方程的化簡(jiǎn)，以及復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，注意存在性問(wèn)題的處理方法，是中檔題．