Question

已知命題p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數m∈[-1，1]恒成立；命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：計算題,簡易邏輯

分析：化簡命題p，q；由p∨q為真命題，p∧q為假命題知p與q有且僅有一個為真．從而得出a的取值范圍．

解答： 解：∵x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=-2，
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

，
∴當m∈[-1，1]時，|x₁-x₂|_max=3．
由不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數m∈[-1，1]恒成立，
可得：a²-5a-3≥3；
∴a≥6或a≤-1；
∴命題p為真命題時a≥6或a≤-1，命題p為假命題時-1＜a＜6；
命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解，
①當a＞0時，顯然有解，
②當a=0時，2x-1＞0有解，
③當a＜0時，∵ax²+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0；
從而命題p：不等式ax²+2x-1＞0有解時a＞-1
∴命題q是假命題時a＞-1，命題q是假命題時a≤-1．
∵p∨q真，p∧q假，
∴p與q有且僅有一個為真．
（1）當命題p是真命題且命題q是假命題時a≤-1；
（2）當命題p是假命題且命題q是真命題時-1＜a＜6；
綜上所述：a的取值范圍為a＜6．

點評：本題考查了復合命題真假性的判斷、方程的解的判斷、韋達定理及分類討論的思想，屬于中檔題．