Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙,是⊙的直徑，于點(diǎn),平分.

（Ⅰ）證明：是⊙的切線

（Ⅱ）如果,求.

 

 

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連結(jié)OA，由OA=AD知∠OAD＝∠ODA，由平分知，∠BDA=∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，由內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得OA∥CE，因?yàn)锳E⊥CE，所以O(shè)A⊥AE，故AE是圓O的切線；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，所以＝，即BD＝2AD，所以所以∠ABD＝30?，從而∠DAE＝30?，在直角三角形AED中，求出DE，再由切割線定理得AE2＝ED·EC=ED·（CD+DE），即可求得CD的值.

試題解析：（Ⅰ）連結(jié)OA，則OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，

又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以O(shè)A∥CE．

因?yàn)锳E⊥CE，所以O(shè)A⊥AE．

所以AE是⊙O的切線. 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，

所以＝，即＝，則BD＝2AD，

所以∠ABD＝30?，從而∠DAE＝30?，

所以DE＝AEtan30?＝．

由切割線定理，得AE2＝ED·EC，

所以4＝ (＋CD)，所以CD＝. 10分

考點(diǎn)：切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，切割線定理.