Question

已知橢圓的內(nèi)接三角形有一個頂點在短軸的頂點處，其重心是橢圓的一個焦點，求該橢圓離心率e的取值范圍（　　）

• A．(0，

  2 3

  3

  )
• B．(0，

  3

  3

  )
• C．(

  2 3

  3

  ，1)
• D．(

  3

  3

  ，1)

Answer 1

分析：設(shè)出橢圓方程，根據(jù)其內(nèi)接三角形的一個頂點是短軸的一個頂點，重心是一個焦點，利用向量求出已知頂點對邊的中點，由該中點在橢圓內(nèi)部列式求橢圓離心率的范圍．

解答：解：不防設(shè)橢圓方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
再不妨設(shè)：B（0，b），三角形重心G（c，0），
延長BG至D，使|GD|=

|BG|

2

，
設(shè)D（x，y），則

BD

=(x，y-b)，

BF

=(c，-b)，
由

BF

=

2

3

BD

，得：(c，-b)=

2

3

(x，y-b)，
解得：x=

3

2

c，y=-

b

2

．
而D(

3

2

c，-

b

2

)是橢圓的內(nèi)接三角形一邊AC的中點，
所以，D點必在橢圓內(nèi)部，
則

( 3 2 c)2

a2

+

(- b 2 )2

b2

＜1．
把b²=a²-c²代入上式整理得：

c2

a2

＜

1

3

．
即e＜

3

3

．
又因為橢圓離心率e∈（0，1），
所以，該橢圓離心率e的取值范圍是(0，

3

3

)．
故選B．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了橢圓離心率的求法，求橢圓離心率范圍的關(guān)鍵是利用橢圓的性質(zhì)及平面幾何知識，找到含有a和c的不等式．此題是中檔題．